Apollon contası, tək bir böyük dairənin içərisində daim kiçilən dairələr toplusundan əmələ gələn bir fraktal görüntü növüdür. Apollon Contasının hər bir dairəsi bitişik dairələrə toxunur - başqa sözlə, Apollon Contasının dairələri sonsuz kiçik nöqtələrdə təmas qurur. Yunan riyaziyyatçısı Apollonius Perga üçün adlandırılan bu fraktal, gözəl və təəccüblü bir görüntü meydana gətirərək, kifayət qədər mürəkkəbliyə (əllə və ya kompüterlə) çəkilə bilər. Başlamaq üçün aşağıdakı 1 -ci addıma baxın.
Addımlar
2 -dən 1 -ci hissə: Əsas anlayışları anlayın
Tamamilə aydın olmaq üçün, sadəcə bir Apollon Conta çəkməklə maraqlanırsınızsa, fraktalın arxasındakı riyazi prinsipləri araşdırmaq vacib deyil. Bununla birlikdə, Apollonian Contaları daha dərindən başa düşmək istəyirsinizsə, bunları müzakirə edərkən istifadə edəcəyimiz bir neçə anlayışın təriflərini anlamaq vacibdir.
Addım 1. Əsas terminləri müəyyənləşdirin
Aşağıdakı təlimatlarda aşağıdakı terminlər istifadə olunur:
- Apollon Contası: Böyük bir dairənin içərisində yuvalanmış və ətrafdakıların hamısına toxunan bir sıra dairələrdən ibarət olan bir fraktal növünün bir neçə adından biridir. Bunlara "Soddy dairələri" və ya "Öpüşmə dairələri" də deyilir.
- Bir dairənin yarıçapı: Bir dairənin mərkəz nöqtəsindən kənarına qədər olan məsafə. Adətən r dəyişəninə təyin edilir.
- Bir dairənin əyriliyi: radiusun müsbət və ya mənfi tərsi və ya ± 1/r. Dairənin xarici əyriliyi ilə məşğul olarkən əyrilik müsbət, daxili əyrilik üçün mənfi olur.
- Teğet: Sonsuz kiçik bir nöqtədə kəsişən xətlərə, təyyarələrə və formalara tətbiq olunan bir termin. Apollon Qıfıllarında bu, hər bir dairənin yaxınlıqdakı hər bir dairəyə yalnız bir nöqtədə toxunduğu faktına aiddir. Qeyd edək ki, kəsişmə yoxdur - teğet formalar üst -üstə düşmür.
Addım 2. Descartes teoremini anlayın
Descartes Teoremi, Apollon Conta içərisindəki dairələrin ölçülərini hesablamaq üçün faydalı bir düsturdur. Hər hansı bir üç dairənin əyriliklərini (1/r) sırasıyla a, b və c olaraq təyin etsək, Teorem, d olaraq təyin edəcəyimiz dairənin (və ya dairələrin) hər üçünə toxunan əyriliyinin olduğunu bildirir.: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Məqsədlərimiz üçün, ümumiyyətlə, yalnız kvadrat kökünün önünə artı işarəsi qoyaraq əldə etdiyimiz cavabı istifadə edəcəyik (başqa sözlə,… + 2 (sqrt (…)). Hələlik, çıxmanın olduğunu bilmək kifayətdir. tənliyin forması digər əlaqəli vəzifələrdə istifadə olunur
2 -dən 2 -ci hissə: Apollon contasının qurulması
Apollon contaları, kiçilən dairələrin gözəl fraktal tənzimləmələri formasını alır. Riyazi olaraq, Apollon contaları sonsuz mürəkkəbliyə malikdir, ancaq istər kompüter rəsm proqramı, istərsə də ənənəvi rəsm alətlərindən istifadə etsəniz də, nəticədə daha kiçik dairələr çəkməyin mümkün olmadığı bir nöqtəyə çatacaqsınız. Diqqətlə dairələrinizi çəkdiyiniz zaman, Contanıza daha çox uyğunlaşa biləcəyinizi unutmayın.
Addım 1. Rəqəmsal və ya analoq rəsm alətlərinizi toplayın
Aşağıdakı addımlarda, özümüzün sadə Apollon contasını düzəldəcəyik. Apollon contalarını əllə və ya kompüterdə çəkmək mümkündür. Hər iki halda da mükəmməl yuvarlaq dairələr çəkmək istəyəcəksiniz. Bu kifayət qədər vacibdir. Bir Apollon Conta içərisindəki hər bir dairə, yanındakı dairələrə mükəmməl bir şəkildə toxunduğundan, hətta bir az düzəldilmiş dairələr də son məhsulunuzu "ata" bilər.
- Kompüterdə bir conta çəkirsinizsə, sabit bir radius dairələrini mərkəzi nöqtədən asanlıqla çəkməyə imkan verən bir proqrama ehtiyacınız olacaq. Pulsuz şəkil redaktə proqramı GIMP üçün vektor çəkmə uzantısı olan Gfig və digər rəsm proqramları da istifadə edilə bilər (müvafiq bağlantılar üçün materiallar bölməsinə baxın). Yəqin ki, əyriliklər və radiuslar haqqında qeydlər aparmaq üçün bir kalkulyator tətbiqinə və ya bir söz prosessoru sənədinə və ya fiziki bir not defterinə ehtiyacınız olacaq.
- Contanı əllə çəkmək üçün bir kalkulyatora (elmi və ya qrafiklə təklif olunur), qələmə, kompasa, hökmdara (tercihen millimetr işarəsi olan bir tərəzi, qrafik kağızı və qeydlər aparmaq üçün bir notepad lazımdır).
Addım 2. Bir böyük dairədən başlayın
İlk vəzifəniz asandır - bir böyük, mükəmməl yuvarlaq bir dairə çəkin. Dairə nə qədər böyükdürsə, contanız da o qədər mürəkkəb ola bilər, buna görə də kağızınızın icazə verdiyi ölçüdə və ya rəsm proqramınızda bir pəncərədə asanlıqla görə biləcəyiniz qədər böyük bir dairə düzəltməyə çalışın.
Addım 3. Orijinalın içərisində bir tərəfə toxunan daha kiçik bir dairə yaradın
Sonra, birincisinin içərisinə orijinaldan daha kiçik, lakin yenə də kifayət qədər böyük olan başqa bir dairə çəkin. İkinci dairənin dəqiq ölçüsü sizə bağlıdır - düzgün ölçü yoxdur. Ancaq məqsədlərimiz üçün ikinci dairəmizi böyük xarici dairəmizin tam yarısına çatacaq şəkildə çəkək. Başqa sözlə, ikinci dairəmizi çəkək ki, onun mərkəzi nöqtəsi böyük dairənin yarıçapının ortasındadır.
Unutmayın ki, Apollon contalarında toxunan bütün dairələr bir -birinə toxunur. Dairələrinizi əl ilə çəkmək üçün bir kompas istifadə edirsinizsə, qələminizi böyük dairənin kənarına toxunacaq şəkildə düzəldərək, kompasın iti ucunu böyük xarici dairənin radiusunun ortasına qoyaraq bu təsiri yenidən yaradın, sonra kiçik dairənizi çəkin
Addım 4. Kiçik daxili dairənin "qarşısına" eyni bir dairə çəkin
Sonra, birincimizin qarşısına başqa bir dairə çəkək. Bu dairə həm böyük xarici dairəyə, həm də daha kiçik daxili dairəyə toxunmalıdır, yəni iki daxili dairəniz böyük xarici dairənin tam ortasına toxunacaq.
Addım 5. Sonrakı dairələrinizin ölçüsünü tapmaq üçün Descartes Teoremini tətbiq edin
Bir anlıq rəsm çəkməyi dayandıraq. İndi Contamızda üç dairə olduğundan, çəkəcəyimiz növbəti dairənin radiusunu tapmaq üçün Descartes Teoremindən istifadə edə bilərik. Descartes teoreminin olduğunu unutmayın d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))burada a, b və c üç teğet dairənizin əyrilikləridir və d, hər üçünə toxunan dairənin əyriliyi. Beləliklə, növbəti dairəmizin radiusunu tapmaq üçün, indiyə qədər malik olduğumuz dairələrin hər birinin əyriliyini tapaq ki, sonrakı dairənin əyriliyini tapa bilək, sonra onu radiusuna çevirin.
-
Xarici dairəmizin radiusunu olaraq təyin edək
Addım 1.. Digər dairələr bu dairənin içərisində olduğu üçün onun daxili əyriliyi ilə (xarici əyriliyindən çox) məşğul oluruq və nəticədə əyriliyinin mənfi olduğunu bilirik. -1/r = -1/1 = -1. Böyük dairənin əyriliyi - 1.
-
Kiçik dairələrin radiusu böyük dairənin yarısı qədər böyükdür və ya başqa sözlə 1/2 -dir. Bu dairələr bir -birinə və böyük dairəyə xarici kənarı ilə toxunduğundan, onların xarici əyriliyi ilə məşğul oluruq, buna görə də əyrilikləri müsbətdir. 1/(1/2) = 2. Kiçik dairələrin əyrilikləri hər ikisidir
Addım 2..
-
İndi bilirik ki, Descartes teoremi tənliyimiz üçün a = -1, b = 2 və c = 2 olur. D üçün həll edək:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kvadrat (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Növbəti dairəmizin əyriliyi
Addım 3.. 3 = 1/r olduğundan, növbəti dairəmizin radiusu belədir 1/3.
Addım 6. Növbəti dairələr dəstinizi yaradın
Növbəti iki dairənizi çəkmək üçün yeni tapdığınız radius dəyərindən istifadə edin. Unutmayın ki, bunlar Descartes Teoremində a, b və c üçün əyriliklərindən istifadə etdiyiniz dairələrə toxunacaqdır. Başqa sözlə, həm orijinal, həm də ikinci dairələrə toxunacaqlar. Bu dairələrin hər üç dairəyə toxunması üçün, onları böyük orijinal dairənizin içərisindəki sahənin yuxarı və altındakı açıq yerlərə çəkməlisiniz.
Bu dairələrin radiusunun 1/3 bərabər olacağını unutmayın. Xarici dairənin kənarından 1/3 geri ölçün, sonra yeni dairənizi çəkin. Ətrafdakı hər üç dairəyə toxunmalıdır
Addım 7. Dairələr əlavə etməyə davam etmək üçün bu şəkildə davam edin
Fraktal olduqları üçün Apollon contaları sonsuz mürəkkəbdir. Bu, ürəyinizin məzmununa daha kiçik və daha kiçik dairələr əlavə edə biləcəyiniz deməkdir. Alətlərinizin dəqiqliyi ilə məhdudlaşırsınız (və ya kompüterdən istifadə edirsinizsə, rəsm proqramınızın "böyütmək" qabiliyyəti). Hər dairə, nə qədər kiçik olsa da, digər üç dairəyə toxunmalıdır. Contanızdakı hər bir sonrakı dairəni çəkmək üçün, toxunacağı üç dairənin əyriliklərini Descartes Teoreminə bağlayın. Sonra, yeni dairənizi dəqiq bir şəkildə çəkmək üçün cavabınızı (yeni dairənizin radiusu olacaq) istifadə edin.
- Diqqət yetirin ki, çəkmək üçün seçdiyimiz conta simmetrikdir, buna görə də bir dairənin radiusu "qarşısındakı" müvafiq dairə ilə eynidir. Ancaq bilin ki, hər bir Apollon contası simmetrik deyil.
-
Daha bir nümunəyə toxunaq. Deyək ki, son dairələrimizi çəkdikdən sonra, indi üçüncü dəstimizə, ikinci dəstimizə və böyük xarici dairəmizə toxunan dairələri çəkmək istəyirik. Bu dairələrin əyrilikləri sırasıyla 3, 2 və -1 -dir. Bu ədədləri a = -1, b = 2 və c = 3 olaraq Descartes Teoreminə bağlayaq:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. İki cavabımız var! Ancaq bildiyimiz üçün ki, yeni dairəmiz toxunduğu dairələrdən daha kiçik olacaq, yalnız bir əyrilik
Addım 6. (və buna görə də bir radius 1/6) anlamlı.
- Digər cavabımız, 2, əslində ikinci və üçüncü dairələrimizin teğet nöqtəsinin digər tərəfindəki hipotetik dairəyə aiddir. Bu dairə edir bu dairələrin hər ikisinə də və böyük xarici dairəyə də toxunur, ancaq artıq çəkdiyimiz dairələri kəsərdi, buna görə də bunu gözardı edə bilərik.
Addım 8. Çətinlik üçün, ikinci dairənizin ölçüsünü dəyişdirərək simmetrik olmayan bir Apollon Contası düzəltməyə çalışın
Bütün Apollon Contaları eyni şəkildə başlayır - fraktalın kənarı kimi çıxış edən böyük bir xarici dairə ilə. Bununla birlikdə, ikinci dairənizin mütləq birincinin 1/2 yarıçapına sahib olması üçün heç bir səbəb yoxdur - bunu sadə və başa düşülməsi asan olduğu üçün bunu yuxarıda seçdik. Əylənmək üçün fərqli bir ölçüdə ikinci bir dairə ilə yeni bir contaya başlamağa çalışın - bu, maraqlı yeni kəşfiyyat yollarına səbəb olacaq.
