Kvadrat tənliyi necə qrafik etmək olar: 10 addım (şəkillərlə)

2024 Müəllif: Robert Blare | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-02-02 02:05

Qrafik edildikdə, formanın kvadratik tənlikləri balta² + bx + c və ya a (x - h)² + k parabola adlanan hamar U şəklində və ya tərs U formalı bir əyri verin. Kvadrat tənliyin qrafiki onun zirvəsini, istiqamətini və çox vaxt x və y kəsişmələrini tapmaq məsələsidir. Nisbətən sadə kvadratik tənliklər halında, x dəyər aralığını bağlamaq və nəticədə əldə edilən nöqtələrə əsaslanaraq bir əyri qurmaq da kifayət edə bilər. Başlamaq üçün aşağıdakı 1 -ci addıma baxın.

Addımlar

Addım 1. Kvadrat tənliyin hansı formasına sahib olduğunuzu müəyyənləşdirin

Kvadrat tənlik üç fərqli formada yazıla bilər: standart forma, vertex forma və kvadrat forma. Kvadrat tənliyi qrafikləşdirmək üçün ya formadan istifadə edə bilərsiniz; hər birinin şəkil çəkmə prosesi bir qədər fərqlidir. Bir ev tapşırığı ilə məşğul olsanız, problemi ümumiyyətlə bu iki formadan birində alacaqsınız - başqa sözlə, seçim edə bilməyəcəksiniz, buna görə də hər ikisini başa düşmək daha yaxşıdır. Kvadrat tənliyin iki forması bunlardır:

• Standart forma.

  Bu formada kvadratik tənlik belə yazılır: f (x) = ax² + bx + c, burada a, b və c həqiqi ədədlərdir və a sıfıra bərabər deyil.

  Məsələn, iki standart formalı kvadrat tənliklər f (x) = x -dir² + 2x + 1 və f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex forması.

  Bu formada, kvadratik tənlik belə yazılır: f (x) = a (x - h)² + k, burada a, h və k həqiqi ədədlərdir və a sıfıra bərabər deyil. Vertex forması belə adlandırılmışdır, çünki h və k birbaşa parabolanızın (h, k) nöqtəsində vertex (mərkəzi nöqtə) verir.

  İki təpə forması tənliyi f (x) = 9 (x - 4)² + 18 və -3 (x - 5)² + 1

• Bu tip tənliklərdən hər hansı birini qrafikləşdirmək üçün əvvəlcə əyrinin "ucunda" mərkəzi nöqtə (h, k) olan parabolanın zirvəsini tapmalıyıq. Standart formada zirvənin koordinatları: h = -b/2a və k = f (h) ilə verilir, təpə formasında isə h və k tənlikdə göstərilir.

Addım 2. Dəyişənlərinizi müəyyənləşdirin

Kvadrat problemi həll etmək üçün adətən a, b və c (və ya a, h və k) dəyişənlərini müəyyən etmək lazımdır. Orta bir cəbr problemi, dəyişənlərin adətən standart formada, bəzən isə vertex şəklində doldurulduğu bir kvadrat tənlik verəcəkdir.

• Məsələn, standart forma tənliyi üçün f (x) = 2x² + 16x + 39, a = 2, b = 16 və c = 39 var.
• Verteks forma tənliyi üçün f (x) = 4 (x - 5)² + 12, a = 4, h = 5 və k = 12 var.

Addım 3. h hesablayın

Verteks formalı tənliklərdə h üçün dəyəriniz artıq verilir, lakin standart formalı tənliklərdə hesablanmalıdır. Unutmayın ki, standart forma tənlikləri üçün h = -b/2a.

• Standart formada nümunəmizdə (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Həll edərək h = olduğunu tapırıq - 4.
• Verteks formamızda nümunə (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), heç bir riyaziyyat etmədən h = 5 bilirik.

Addım 4. k hesablayın

H -də olduğu kimi, k də artıq vertex formalı tənliklərdə məlumdur. Standart forma tənlikləri üçün k = f (h) olduğunu unutmayın. Başqa sözlə, tənliyinizdəki hər bir x nümunəsini h üçün tapdığınız dəyərlə əvəz edərək k tapa bilərsiniz.

• Standart nümunəmizdə h = -4 olduğunu təyin etdik. K -ni tapmaq üçün, x -i əvəz edən h dəyərimizlə bərabərliyimizi həll edirik:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Addım 7.

• Verteks nümunə nümunəmizdə, yenə də heç bir riyaziyyat etmədən k -nin (12 olan) dəyərini bilirik.

Addım 5. Verteksinizi çəkin

Parabolanızın zirvəsi (h, k) - h nöqtəsinin x koordinatını, k isə y koordinatını təyin edəcək. Güvən, parabolanızın mərkəzi nöqtəsidir - ya "U" nun ən aşağı hissəsi, ya da tərsinə çevrilmiş "U" nun ən üstü. Doğru nöqtəni bilmək dəqiq bir parabolun şəklini çəkməyin vacib bir hissəsidir - tez -tez, məktəb işlərində, zirvəni təyin etmək bir sualın tələb olunan bir hissəsi olacaqdır.

• Standart form nümunəmizdə zirvəmiz (-4, 7) səviyyəsində olacaq. Beləliklə, parabolamız 0 və 7 boşluqların solundakı 4 boşluğu zirvəyə qaldıracaq (0, 0). Koordinatları etiketləməyimizə əmin olaraq bu nöqtəni qrafikimizdə qurmalıyıq.
• Verteks forması nümunəmizdə, zirvəmiz (5, 12) səviyyəsindədir. Sağda 5 boşluq və yuxarıda 12 boşluq (0, 0) olan bir nöqtə qurmalıyıq.

Addım 6. Parabolanın oxunu çəkin (isteğe bağlı)

Parabolanın simmetriya oxu, ortasından keçən və onu yarıya qədər mükəmməl şəkildə ayıran xətdir. Bu ox boyunca parabolanın sol tərəfi sağ tərəfini əks etdirəcək. Balta formasının kvadratikası üçün² + bx + c və ya a (x - h)² + k, ox y oxuna paralel (başqa sözlə mükəmməl şaquli) və təpədən keçən bir xəttdir.

Standart nümunə nümunəmizdə, ox y oxuna paralel olan və (-4, 7) nöqtəsindən keçən bir xəttdir. Parabolanın özünün bir hissəsi olmasa da, qrafikdə bu xətti yüngülcə qeyd etmək, nəticədə parabolanın simmetrik olaraq necə əyildiyini görməyə kömək edə bilər

Addım 7. Açılış istiqamətini tapın

Parabolanın zirvəsini və oxunu anladıqdan sonra, parabolanın yuxarıya və ya aşağıya doğru açıldığını öyrənməliyik. Xoşbəxtlikdən, bu asandır. "A" müsbət olarsa, parabola yuxarıya doğru açılacaq, "a" mənfi olarsa parabola aşağıya doğru açılacaq (yəni tərsinə çevriləcək.)

• Standart forma nümunəmiz üçün (f (x) = 2x² + 16x + 39), parabolamızın yuxarıya doğru açıldığını bilirik, çünki tənliyimizdə a = 2 (müsbət).
• Vertex forma nümunəmiz üçün (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), a = 4 (müsbət) olduğu üçün yuxarıya doğru açılan bir parabolamız olduğunu da bilirik.

Addım 8. Lazım gələrsə, x kəsişmələrini tapın və qurun

Çox vaxt məktəb işlərində bir parabolanın x-kəsişmələrini (parabolanın x oxuna uyğun gəldiyi bir və ya iki nöqtə) tapmaq istənir. Onları tapmasanız belə, bu iki nöqtə dəqiq bir parabola çəkmək üçün əvəzsiz ola bilər. Bununla birlikdə, bütün parabolaların x kəsişmələri yoxdur. Parabolanızın bir ucu yuxarıya doğru açılırsa və x oxunun üstündə bir nöqtə varsa və ya aşağıya doğru açılırsa və x oxunun altında bir təpə varsa, heç bir x müdaxiləsi olmayacaq. Əks təqdirdə, x müdaxilələrinizi aşağıdakı metodlardan biri ilə həll edin:

• Sadəcə f (x) = 0 təyin edin və tənliyi həll edin. Bu üsul sadə kvadratik tənliklər üçün işləyə bilər, xüsusən də vertex şəklində, lakin daha mürəkkəbləri üçün son dərəcə çətin olacaq. Bir nümunə üçün aşağıya baxın

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 və 13 parabolanın x kəsişmələridir.

• Tənlikinizi faktorlayın. Balta bəzi tənliklər² + bx + c forması (dx + e) (fx + g) formasına asanlıqla bölünə bilər, burada dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx və e × g = c. Bu halda, x müdaxilələriniz x üçün hər iki termini mötərizədə = 0 edən dəyərlərdir. Məsələn:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Bu vəziyyətdə, yalnız x kəsmə -1 -dir, çünki x -in -1 -ə bərabər olması mötərizədə olan faktorlu terminlərdən birini 0 -a bərabər edəcək.

• Kvadrat formulundan istifadə edin. X müdaxilələrinizi asanlıqla həll edə bilmirsinizsə və ya tənliyinizi faktorlandıra bilmirsinizsə, bunun üçün hazırlanmış kvadratik formul adlı xüsusi bir tənlikdən istifadə edin. Əgər hələ deyilsə, tənliyinizi ax axına çevirin² + bx + c, sonra a, b və c formulunu x = (-b +/- SqRt (b)² - 4ac))/2a. Diqqət yetirin ki, bu, x üçün iki cavab verir, bu da yaxşıdır - bu, parabolanızda iki x kəsişmənin olması deməkdir. Bir nümunə üçün aşağıya baxın:

  • -5x² + 1x + 10 aşağıdakı kimi kvadratik formula bağlanır:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) və (-15.18/-10). Parabolanın x kəsişmələri təxminən x = -dir - 1.318 və 1.518
  • Əvvəlki standart form nümunəmiz, 2x² + 16x + 39 aşağıdakı kimi kvadratik düstura bağlanır:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Mənfi sayın kvadrat kökünü tapmaq mümkün olmadığı üçün bunu bilirik x müdaxilə etmir bu xüsusi parabola üçün mövcuddur.

Addım 9. Gerekirse, y kəsişməsini tapın və qurun

Bir tənliyin y kəsilməsini (parabolanın y oxundan keçdiyi nöqtə) tapmaq çox vaxt lazım olmasa da, xüsusən məktəbdə olsanız, nəticədə tələb oluna bilər. Bu proses olduqca asandır - yalnız x = 0 təyin edin, sonra parabolanızın y oxundan keçdiyi y dəyərini verən f (x) və ya y üçün tənliyinizi həll edin. X tutmalarından fərqli olaraq, standart parabolalarda yalnız bir y kəsmə ola bilər. Qeyd - standart forma tənlikləri üçün y kəsişməsi y = c səviyyəsindədir.

• Məsələn, 2x kvadrat tənliyimizi bilirik² + 16x + 39, y = 39 -da y kəsişməsinə malikdir, lakin onu aşağıdakı kimi də tapmaq olar:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolanın y tutma nöqtəsi at y = 39.

    Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, y tutma y = c səviyyəsindədir.

• Güvən formalı tənliyimiz 4 (x - 5)² + 12 -də aşağıdakı kimi tapıla bilən y kəsilişi var:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolanın y kəsilməsi at y = 112.

Addım 10. Gerekirse, əlavə nöqtələr qurun, sonra qrafik çəkin

İndi tənliyiniz üçün bir nöqtə, istiqamət, x kəsmə (lər) və ehtimal ki, y y kəsmə nöqtəsinə sahib olmalısınız. Bu nöqtədə, ya təlimat olaraq əldə etdiyiniz nöqtələrdən istifadə edərək parabolunuzu çəkməyə cəhd edə bilərsiniz və ya çəkdiyiniz əyrinin daha dəqiq olması üçün parabolunuzu "doldurmaq" üçün daha çox xal tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün ən asan yol, vertexinizin hər iki tərəfinə bir neçə x dəyəri bağlamaq və sonra əldə etdiyiniz y dəyərlərindən istifadə edərək bu nöqtələri qurmaqdır. Çox vaxt müəllimlər, parabolanı çəkməzdən əvvəl müəyyən sayda xal toplamağı tələb edəcəklər.

• X tənliyini yenidən nəzərdən keçirək² + 2x + 1. Artıq bilirik ki, onun yeganə x kəsişməsi x = -1 -dir. Yalnız bir nöqtədə x kəsişməsinə toxunduğundan, onun ucunun x kəsişməsi olduğu qənaətinə gələ bilərik, bu da onun zirvəsinin (-1, 0) olduğunu bildirir. Bu parabola üçün effektiv olaraq yalnız bir nöqtəmiz var - yaxşı bir parabola çəkmək üçün demək olar ki, kifayət deyil. Dəqiq bir qrafik çəkdiyimizdən əmin olmaq üçün daha bir neçəsini tapaq.

  • Aşağıdakı x dəyərləri üçün y dəyərlərini tapaq: 0, 1, -2 və -3.
  • 0 üçün: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Fikrimiz budur (0, 1).

  • 1 üçün: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Fikrimiz budur (1, 4).

  • -2 üçün: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Fikrimiz budur (-2, 1).

  • -3 üçün: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Fikrimiz budur (-3, 4).

  • Bu nöqtələri qrafikə çəkin və U şəkilli əyrinizi çəkin. Parabolanın mükəmməl simmetrik olduğuna diqqət yetirin - parabolanın bir tərəfindəki nöqtələriniz tam ədədlər üzərində dayandıqda, müəyyən bir nöqtəni parabolanın simmetriya oxu boyunca əks etdirməklə özünüzü bir işdən xilas edə bilərsiniz. paraboladan.

Video - Bu xidmətdən istifadə edərək bəzi məlumatlar YouTube ilə paylaşıla bilər

İpuçları

• Qeyd edək ki, f (x) = ax -da² + bx + c, b və ya c sıfıra bərabərdirsə, bu ədədlər yox olur. Məsələn, 12 dəfə² + 0x + 6 12x olur² 0 + 0 olduğu üçün + 6.
• Cəbr müəlliminizin dediyi kimi ədədləri yuvarlaqlaşdırın və ya kəsrlərdən istifadə edin. Bu, kvadratik tənliklərinizi düzgün qrafikləşdirməyə kömək edəcək.